同等学力经济综合西方经济学讲义（9）

　　2、(2003，2008年)厂商的生产函数为y=24L1/2K2/3，生产要素L和K的价格分别为rL=1和rk=2。试求：

　　(1)、厂商的生产要素最优组合?

　　(2)、如果资本的数量K=27，厂商的短期成本函数?

　　(3)、厂商的长期成本函数?

　　解：①根据生产要素最优组合的条件

　　MPL/rL=MPK/rK

　　得(12L-1/2K2/3)/1=(16L1/2K-1/3)/2

　　得2L=3K,即为劳动与资本最优组合。

　　②短期成本函数由下列二方程组所决定： y=f(L,K) c=rLL+rKK(━)

　　即 y=24L1/2×272/3 c=L+2×27

　　解得c=(y/216)2+54

　　③长期成本函数由下列三条件方程组所决定：

　　y=f(L,K) c=rLL+rKK MPL/rL=MPK/rK

　　即 y=24L1/2K2/3 c=L+2K 2L=3K

　　从生产函数和最优组合这两个方程中求得L=y6/7/15362/7

　　和 K=(2/3)×(y6/7/15362/7)

　　代入到第二个方程中得到厂商的成本函数为 c=5/(3×15362/7) ×y6/7

　　***3、证明：追求利润最大化的厂商必然会在生产扩展曲线上选择投入组合。

　　回答三个问题：⑴利润最大化与生产要素最优组合的一致性;⑵既定产量下的成本最小;既定成本下的产量最大;⑶生产扩展线方程的概念，与生产要素最优组合的一致性。)

　　厂商的利润π=TR-TC=PQ-TC，将其对生产要素求一阶导数令其为零以寻求利润最大化的条件。设该厂商仅使用劳动L和资本K两种生产要素，即Q=f(L，K)=Q0，TC=rLL+rKK

　　则分别对L，K求偏导数得： P -rL=0，P -rK=0，按边际产量的定义替换并将两式相除得：MPL/MPK=rL/rK。此即厂商追求利润最大化的投入组合。

　　又由生产扩展线的定义为一系列等成本线与等产量线的切点的连线，等产量线上任意一点切线的斜率为边际技术替代率MRTSL，K=MPL/MPK，而等成本线为C=rLL+rKK=C0，其斜率为rL/rK，因此可得生产扩展线的方程为MPL/MPK=rL/rK，与厂商追求利润最大化的投入组合相同。故追求利润最大化的厂商必然会在生产扩展曲线上选择投入组合。

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